Distribusi Khusus Diskrit dan Kontinu

DISTRIBUSI KHUSUS DISKRIT
A. Distribusi Bernoulli
Apabila sebuah eksperimen mempunyai dua hasil yang muncul, seperti “sukses” dan “gagal”, dengan masing-masing peluangnya p dan (1-p) , maka peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal akan berdistribusi Bernoulli.
Peubah acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk
$\large {{\color{Red} p(x)=P(X=x)=p^{x}(1-P)^{1-x}; x=0,1}}$
Peubah acak X yang berdistribusi Bernoulli dikatakan juga peubah acak Bernoulli.
Penulisan notasi dari peubah acak Bernoulli adalah B(x;1,p),artinya peubah acak X berdistribusi Bernoulli dengan peristiwa yang diperhatikan, baik secara sukses maupun gagal dinyatakan dengan x, banyak eksperimen yang dilakukan satu kali, dan peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal sebesar p.
Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi Bernouli, jika eksperimen itu mempengaruhi sifat-sifat sebagai berikut.
1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, yaitu peristiwa yang diperhatikan (sering disebut peristiwa sukses) dan peristiwa yang tidak diperhatikan ( sering disebut peristiwa gagal)
2. Eksperimennya hanya dilakukan sekali saja.

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernouli sebagai berikut:
$\large {\color{Red} \mu =p}$
$\large {\color{Red}\sigma ^{2} =p(1-p)}$
$\large {\color{Red}M_{x}(t) =(1-p)+p.e^{t}; t\in R}$

B. Distribusi Binomial
Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa, seperti peristiwa sukse (S) dan peristiwa gagal (G).
Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa G, P(G), sebesar 1-p.
Kemudian eksperimen itu diulang sampai n kali secara bebas. Dari n kali pengulangan itu, peristiwa S terjadi sebanyak x kali dan sisanya n-x kali terjadi peristiwa G. Kita akan menghitung besar peluang bahwa banyak peristiwa sukses dalam eksperimen itu sebanyak x kali.
Peubah acak X dikatakan berdistribusi binomial jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk
$\large {\color{Red}P(X=x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}}$
Peubah acak X yang berdistribusi binomial dikatakan juga peubah acak binomial.
Penulisan notasi dari peubah acak X berdistribusi binomial adalah B(x;n,p) artinya peubah acak X berdistribusi binomial dengan banyak pengulangan eksperimen sampai n kali, peluang terjadinya peritiwa sukses sebesar p, dan banyak peristiwa sukses terjadi ada x.
Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi binomial, jika ekperimen itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal.
2. Eksperimennya diulang beberapa kali dan ditentukan banyak pengulangannya.
3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen bersifat tetap.
4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas.

Rataan varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial adalah sebagai berikut :
$\large {\color{Red}\mu =np}$
$\large {\color{Red}\sigma^{2}=np(1-p))}$
$\large {\color{Red}M_{x}(t)=\left [ (1-p)+p.e^{t} \right ]^{n}; t\in R}$

C. Distribusi Poisson
Distribusi poisson ini diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi binomial berlaku syarat-syarat sebagai berikut :
a. Banyak pengulangan eksperimennya sangat besar $\large n\rightarrow \infty$
b. Peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan mendekati nol $\large p\rightarrow 0$
Perkalian $\large n.p=\lambda$ sehingga $\large p=\frac{\lambda }{n}$
Peubah acak X dinyatakan berdistribusi Poisson jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk
$\large {\color{Red}p(x)=P(X=x)=\frac{\lambda ^{x}.e^{-\lambda}}{x!}; x=0,1,2,3, ... }$

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi poisson adalah sebagai berikut
$\large {\color{Red}\mu =\lambda }$
$\large {\color{Red}\sigma ^{2} =\lambda }$
$\large {\color{Red} M_{x}(t)=e^{\lambda (e^{t}-1)}}$

D. Distribusi Geometrik
Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G).
Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa G, P(G) sebesar 1- p.
Kemudian eksperimen itu diulang beberapa kali sampai peristiwa S terjadi pertama kali. Jika peubah acak X menyatakan banyak eksperimen dan pengulangannya yang dilakukan sampai peristiwa S terjadi pertama kali. Maka X=x artinya banyak eksperimen dan pengulangannya yang dilakukan sampai menghasilkan peristiwa S terjadi pertama kali, adalah x kali. Ini berarti bahwa sampai pengulangan ke-(x-2) menghasilkan peristiwa G dan pada pengulangan ke (x-1) menghasilkan peristiwa S. Kita akan menghitung peluang bahwa peristiwa S terjadi pertama kali pada pengulangan eksperimen ke(x-1). Susunan yang akan terjadi pada eksperimen itu adalah

Sehingga peluang bahwa peristiwa sukses terjadi pertama kali pada pengulangan eksperimen ke-𝑥 adalah $\large {\color{Red} P(X=x)=(1-p)^{x-1}.p}$
Peubah acak X dikatakan berdistribusi geometrik, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk
$\large {\color{Red} p(x)=P(X=x)=(1-p)^{x-1}.p}$ dimana $\large {\color{Red} x=1,2,3, ...}$
Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi geometrik adalah X~G (x;p), artinya peubah acak X berdistribusi geometrik dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai x kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar p.
Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi geometrik, jika eksperimen itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut
1. Eksperimennya terdiri dari dua peristiwa, seperti sukses dan gagal
2. Eksperimennya diulang beberapa kali sampai peristiwa sukses terjadi pertama kali
3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen bersifat tetap
4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas

Rataan, Varians, dan fungsi pembangkit momen geometri dari distribusi geometrik adalah sebagai berikut:
$\large {\color{Red} \mu =\frac{1}{p}}$
$\large {\color{Red} \sigma ^{2} =\frac{1-p}{p^{2}}}$
$\large {\color{Red} M_{X}(t)=\frac{p.e^{t}}{1-(1-p).e^{t}} }$

DISTRIBUSI KHUSUS KONTINU
A. Distribusi Gamma
peubah acak X dikatakan berdistribusi gamma. Jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk
$\large {\color{Red} f(x)=\frac{1}{\beta ^{\alpha}.\Gamma (\alpha )}.x^{\alpha -1}.e^{\frac{-x}{\beta }}}$ dengan $\large {\color{Red}x> 0, \alpha > 0, \beta > 0}$
$\large {\color{Red}=0}$ untuk x lainnya

Rataan, varians dan fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma dirumuskan sebagai berikut:
$\large {\color{Red}\mu =\alpha \beta }$
$\large {\color{Red}\sigma ^{2} =\alpha \beta^{2} }$
$\large {\color{Red}M_{x}(t)=(1-\beta t)^{-\alpha } }$

B. Distribusi Eksponensial
Peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk
$\large {\color{Red} f(x)=(\frac{1}{\theta }.e^{\frac{-x}{\theta }})}$ dengan $\large {\color{Red} x> \theta , \theta > 0}$

Rataan, varians dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial dirumuskan sebagai berikut:
$\large {\color{Red} \mu =\theta }$
$\large {\color{Red} \sigma ^{2} =\theta }$
$\large {\color{Red} M_{x}(t)=(1-\theta t)^{t} }$

C. distribusi Chi Kuadrat
Peubah acak X diaktakan berdistribusi chi kuadrat jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk
$\large {\color{Red} f(x)=\frac{1}{2^{\frac{v}{2}.\Gamma (\frac{v}{2})}}.x^{\frac{(v-2)}{2}}.e^{\frac{-x}{2}}}$ dengan $\large {\color{Red} x> 0}$

Rataan, varians dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi kuadrat dirumuskan sebagai berikut:
$\large {\color{Red} \mu =v}$
$\large {\color{Red} \sigma ^{2} =2v}$
$\large {\color{Red} M_{x}(t)=(1-2t)^{\frac{-v}{2}}}$

DISTRIBUSI NORMAL UMUM
Distribusi normal umum merupakan distribusi dari peubah acak kontinu yang paling banyak sekali dipakai sebagai pendekatan yang baik dari distribusi lainnya dengan persyaratan tertentu
Peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk
$\large {\color{Red} F(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi .\sigma ^{2}}}exp\left [ \frac{-1}{2\sigma ^{2}}(x-\mu )^{2} \right ]}$
Peubah acak X yang berdistribusi normal umum disebut juga peubah acak normal umum
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah $\large {\color{Red}X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$
Beberapa sifat dari kurva fungsi densitas distribusi normal umum sebagai berikut:
1. Kurvanya berbentuk lonceng dan simetrik di 𝑥 = 𝜇
2. Rataan, median, dan modus dari distribusi berimpitan
3. Fungsi densitas mencapai nilai maksimum di 𝑥 = 𝜇 sebesar $\large {\color{Red} \frac{1}{\sqrt{2\pi .\sigma ^{2}}}}$
4. Kurvanya berasimtot sumbu datar 𝑥
5. Kurvanya mempunyai titik infleksi (𝑥, 𝑓(𝑥)), dengan $\large {\color{Red} x=\mu \pm \sigma }$ dan $\large {\color{Red} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi .\sigma ^{2}}}.e^{\frac{-1}{2}}}$

Rataaan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal umum dirumuskan sebagai berikut
$\large {\color{Red} E(X)=\mu }$
$\large {\color{Red} Var(X)=\sigma ^{2} }$
$\large {\color{Red} M_{x}(t)=exp(\mu t+\frac{1}{2}\sigma ^{2}t^{2})}$

DISTRBUSI NORMAL BAKU
Distribusi normal umum dengan rataan 𝜇 = 0 dan varians 𝜎2 = 1 dinamakan distribusi normal baku dan fungsi densitasnya berbentuk
$\large {\color{Red} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}exp(\frac{-1}{2}x^{2})}$ dengan $\large {\color{Red}- \infty < x< \infty }$
Peubah acak X yang berdistribusi normal baku disebut juga peubah acak normal baku.
Penulisan notasi dari peubah acak yng berdistribusi normal baku adalah 𝑁(𝑥; 0, 1), artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan 0 dan varians 1.
Peubah acak X yang berdistribusi normal umum dengan rataan 0 dan varians 1 atau peubah acak X yang berdistribusi normal baku bisa ditulis juga sebagai:𝑋 − 𝑁(0; 1)
Rataaan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal umum dirumuskan sebagai berikut
$\large {\color{Red} \mu =E(x)=0}$
$\large {\color{Red} \sigma ^{2}=Var(X)=1}$
Adapun fungsi pembangkit momennya ditentukan berdasarkan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal umum dengan mensubsitusikan 𝜇 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝜎2 = 1 ke dalamnya, sehingga akan diperoleh:
$\large {\color{Red} M_{x}(t)=exp(\frac{1}{2}t^{2})}$

Penghitungan peluang dari peubah acak yang berdistribusi normal baku dapat dilakukan sebagai berikut:
1. Gambarkan kurva distribusi normal baku.
2. Nilai Z yang dicari diletakkan pada kurva, bias di sebelah kiri maupun kanan nol.
3. Daerah yang dicari ditandai pada kurvanya sesuai dengan nilai Z-nya.
4. Hitung peluang yang dicari dengan cara menghitung luas daerah yang ditandai berdasarkan Tabel Distribusi Normal Baku

Contoh
Hitung peluang bahwa peubah acak Z yang berdistribusi normal baku mempunyai nilai:
a. Kurang dari 1,45.

$\large {\color{Red} P(Z< 1,45)=0,5+(Z=0 \rightarrow Z=1,45)}$
$\large {\color{Red} P( Z< 1,45)= 0,5+0,4265}$
$\large {\color{Red} P( Z< 1,45)= 0,9265}$

b. Kurang dari -0,65

$\large {\color{Red} P(Z<-0,65)=0,5-(Z=-0,65\ \rightarrow Z=0)}$
$\large {\color{Red} P(Z<-0,65)=0,5-(Z=0\ \rightarrow Z=0,65)}$
$\large {\color{Red} P(Z<-0,65)=0,5 - 0,2422}$
$\large {\color{Red} P(Z<-0,65)=0,2578}$

c. Antara 1,15 dan 1,90

$\large {\color{Red} P(1,15< Z<1,90)=(Z=0\rightarrow Z=1,90)-(Z=0\rightarrow Z=1,15)}$
$\large {\color{Red} P(1,15< Z<1,90)=0,4713-0,3749}$
$\large {\color{Red} P(1,15< Z<1,90)=0,0964}$

d. Antara -0,40 dan 0,70

$\large {\color{Red} P(-0,40< Z< 0,70)=(Z=-0,40 \rightarrow Z=0)+(Z=0\rightarrow Z=0,70)}$
$\large {\color{Red} P(-0,40< Z< 0,70)=(Z=0\rightarrow Z=0,40)+0,2580}$
$\large {\color{Red} P(-0,40< Z< 0,70)=0,1554+0,2580}$

e. Antara -0,98 dan -0,35

$\large {\color{Red} P(-0,98< Z<- 0,35)= (Z=-0,98 \rightarrow Z=0)-(Z=-0,35\rightarrow Z=0)}$
$\large {\color{Red} P(-0,98< Z<- 0,35)= (Z=0 \rightarrow Z=0,98)-(Z=0\rightarrow Z=0,35)}$
$\large {\color{Red} P(-0,98< Z<- 0,35)= 0,3365-0,1368}$
$\large {\color{Red} P(-0,98< Z<- 0,35)= 0,1997}$

Referensi: Herrhyanto, Nar. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya

Arianti Dewi

Cari Blog Ini

Distribusi Khusus Diskrit dan Kontinu

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Sifat-Sifat Operasi Himpunan dan Aljabar Himpunan

Distribusi Sampling

Anggota Himpunan dan Himpunan Bagian